Teorema del coseno o Teorema de Pitágoras generalizado. Fórmula y demostración

El Teorema de los cosenos, o el teorema de Pitágoras generalizado

El Teorema de los cosenos, o teorema de Pitágoras generalizado establece que en cualquier triángulo △ABC tenemos estas tres relaciones entre las longitudes de los lados a, b y c y el coseno de los ángulos ∠A, ∠B y ∠C:

• a² = b² + c² - 2 × b × c × cos(∠A)
• b² = a² + c² - 2 × a × c × cos(∠B)
• c² = a² + b² - 2 × a × b × cos(∠C)
• Dónde:
• a = el lado del triángulo opuesto al ángulo ∠A
• b = el lado del triángulo opuesto al ángulo ∠B
• c = el lado del triángulo opuesto al ángulo ∠C

También se le llama teorema de Pitágoras generalizado porque funciona para todos los triángulos. Cuando el ángulo ∠A, ∠B o ∠C es recto, cos(90°) = 0, haciendo desaparecer la parte sobrante y dejando el clásico teorema de Pitágoras:

• a² = b² + c²
• b² = a² + c²
• c² = a² + b²

» Teorema de Pitágoras, demostración mediante el uso de un cuadrado

• Demostración del teorema de los cosenos

• En cualquier triángulo △ABC, que no sea rectángulo, con lados de longitud BC = a, AC = b y AB = c, trazar desde el vértice A la perpendicular al lado BC, que corta a BC en el punto D. Las longitudes de los lados: AD = h_a, BD = a1 y CD = a2, donde a1 + a2 = a.
• 

  Demostración del teorema de los cosenos

En el triángulo rectángulo △ABD tenemos las siguientes relaciones trigonométricas:

En el triángulo rectángulo △ADC aplica el Teorema de Pitágoras:

Sustituir h_a y a1 en la fórmula anterior:

En el triángulo rectángulo △ABD se aplica el Teorema de Pitágoras:

Sustituto de ^{(h_a2 + a12)}/_c² en la última fórmula de b²:

Trazando las perpendiculares h_b y h_c a los otros dos lados del triángulo también podríamos demostrar, de la misma manera, las otras dos relaciones del Teorema de los cosenos.

• Cuándo usar este teorema

• El Teorema de los cosenos podría usarse para:
• 1. Para encontrar la longitud desconocida de un lado en un triángulo si conocemos las longitudes de los otros dos lados y la medida del ángulo opuesto.
• 2. Para encontrar la medida desconocida de un ángulo en un triángulo cuando conocemos las longitudes de sus tres lados.
• Para hacer eso, reescribe el Teorema de los cosenos para resaltar el coseno del ángulo, luego aplica la función arccos para ambos lados de la igualdad.
• Ya que cos y arccos son funciones inversas, arccos(cos(∡B)) = ∡B:

» Coseno y Arcocoseno en un triángulo rectángulo

El mismo proceso podría usarse para demostrar las fórmulas para las medidas de los otros dos ángulos, ∠A y ∠C.

• Ejemplos de cálculos

• El ejemplo 1: Calcular la longitud de un lado cuando se conocen el ángulo opuesto y los otros dos lados
• En un triángulo donde se dan las longitudes de dos lados, a = 5, c = 7, y la medida del ángulo entre ellos es ∡B = 54°, calculemos la longitud del lado b:
• Introduzca los datos dados en una de las tres ecuaciones del teorema de los cosenos.
• Usa una calculadora para calcular la función cos(54°).
• b² = 5² + 7² - 2 × 5 × 7 × cos(54°) = 74 - 70 × 0,5877852522925 = 74 - 41,144967660475 = 32,855032339525
• La raíz cuadrada de b² = 32,855032339525 => b = 5,7319309433667 ≈ 5,73
• El ejemplo 2: Calcular la medida de un ángulo cuando se conocen las longitudes de los tres lados
• En un triángulo donde las longitudes de los lados son a = 5, b = 5,73 y c = 7, calculemos la medida del ángulo ∠B:
• Introduzca los datos dados en una de las tres ecuaciones reorganizadas para ángulos del teorema del coseno.
• Recordemos: a² - b² = (a + b) × (a - b).
• Usa una calculadora para calcular la función arccos().
• m(∡B) = arccos(^{(52 + 72 - 5,732)} / _{(2 × 5 × 7)}) = arccos(^{(25 + (7 + 5,73) × (7 - 5,73)} / ₇₀) = arccos(^{(25 + 12,73 × 1,27)} / ₇₀) = arccos(⁴¹ / ₇₀) = arccos(0,5881014285714) = 53,977604748002° ≈ 53,98°.