Teorema del coseno o Teorema de Pitágoras generalizado

Teorema del coseno o Teorema de Pitágoras generalizado en un triángulo escaleno. Demostración

El teorema del coseno. Fórmula y su demostración



Teorema del coseno o Teorema de Pitágoras generalizado

El teorema del coseno o teorema de Pitágoras generalizado establece que en cualquier triángulo △ABC tenemos estas tres relaciones entre las longitudes de los lados a, b y c y el coseno de los ángulos ∠A, ∠B o ∠C:


  • a2 = b2 + c2 - 2 × b × c × cos(∠A)
  • b2 = a2 + c2 - 2 × a × c × cos(∠B)
  • c2 = a2 + b2 - 2 × a × b × cos(∠C)
  • Donde:
  • a = el lado del triángulo opuesto al ángulo ∠A
  • b = el lado del triángulo opuesto al ángulo ∠B
  • c = el lado del triángulo opuesto al ángulo ∠C

También se le llama teorema de Pitágoras generalizado porque funciona para todos los triángulos. Cuando el ángulo ∠A, ∠B o ∠C es un ángulo recto cos(90°) = 0, haciendo desaparecer la parte sobrante y quedando el clásico - El teorema de Pitágoras:


  • a2 = b2 + c2
  • b2 = a2 + c2
  • c2 = a2 + b2.

  • Prueba del teorema del coseno

  • En cualquier triángulo △ABC, que no sea rectángulo, con lados de longitud BC = a, AC = b y AB = c, trazamos desde el vértice A la perpendicular al lado BC, que corta a BC en el punto D. Anotamos las longitudes de los lados AD = ha, BD = a1 y CD = a2, donde a1 + a2 = a.
  • Prueba del teorema del coseno

    Prueba del teorema del coseno

  • En el triángulo rectángulo △ABD tenemos las siguientes relaciones trigonométricas:

  • sin(∠B) = ha/c => ha = c × sin(∠B)
  • cos(∠B) = a1/c => a1 = c × cos(∠B)
  • En el triángulo rectángulo △ADC aplicamos el Teorema de Pitágoras:
  • b2 = ha2 + a22 <=>
  • b2 = ha2 + (a - a1)2
  • Sustituya ha y a1 en la fórmula anterior:
  • b2 = c2 × sin2(∠B) + (a - c × cos(∠B))2 <=>
  • b2 = c2 × sin2(∠B) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) + c2 × cos2(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (sin2(∠B) + cos2(∠B)) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (ha2/c2 + a12/c2) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (ha2 + a12)/c2 + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • En el triángulo rectángulo △ABD ha2 + a12 = c2 (Teorema de Pitágoras) =>
  • (ha2 + a12)/c2 = 1 =>
  • b2 = c2 + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • cos(∠B) = (a2 + c2 - b2) / (2 × a × c)
  • Aplicar la función arccos a ambos lados de la igualdad:
  • arccos(cos(∠B)) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c)) =>
  • m(∡B) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
  • El mismo proceso se utiliza para calcular las medidas de los ángulos ∠A y ∠C.