La fórmula de Herón, una demostración utilizando el teorema de Pitágoras

La fórmula de Herón. Una demostración paso a paso usando el teorema de Pitágoras

La fórmula de Herón. Demostración



  • La Fórmula de Heron

  • Dadas las longitudes de sus tres lados, el área de un triángulo se puede calcular usando la Fórmula de Heron:

  • Área2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c)
  • Donde:
  • "a", "b" y "c" son las longitudes de los tres lados del triángulo
  • "s" es el semiperímetro del triángulo s = P/2
  • "P" es el perímetro del triángulo, P = a + b + c
  • s = (a + b + c)/2

  • Demostración paso a paso de la Fórmula de Herón, utilizando el Teorema de Pitágoras

  • Considere un triángulo △ABC con sus lados BC = a, AC = by AB = c. Dibuja la altura desde el vértice A, opuesto al lado "a", AD ⊥ BC, D ∈ BC, la longitud de AD = h. AD divide la base "a" en dos segmentos, de longitudes BD = x y CD = a - x.
  • Triángulo △ABC y la fórmula de Heron

    Triángulo △ABC y la fórmula de Heron


Aplicar el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo △ADB:


  • h2 + x2 = c2
  • h2 = c2 - x2

Aplicar el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo △ADC:


  • h2 + (a - x)2 = b2
  • h2 = b2 - (a - x)2

Iguala las dos expresiones para h2 y resuelve para el segmento "x":


  • c2 - x2 = b2 - (a - x)2
  • c2 - x2 = b2 - (a2 - 2 × a × x + x2)
  • c2 - x2 = b2 - a2 + 2 × a × x - x2
  • c2 = b2 - a2 + 2 × a × x
  • 2 × a × x = a2 + c2 - b2
  • x = (a2 + c2 - b2)/(2 × a)

Sustituye "x" nuevamente en la fórmula de h2 y calcula la altura "h":


  • h2 = c2 - x2
  • h2 = c2 - ((a2 + c2 - b2)/(2 × a))2
  • h2 = c2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a)2

Convertir las dos "fracciones" a un denominador común


  • h2 = c2 × (2 × a)2/(2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a))2
  • h2 = (c2 × (2 × a)2)/(2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a))2
  • h2 = (c2 × (2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2) / (2 × a))2
  • h2 = ((2 × a × c)2 - (a2 + c2 - b2)2) / (2 × a))2

Descomponer la expresión usando la regla de diferencia de cuadrados, c2 - x2 = (c - x) × (c + x)


  • h2 = (2 × a × c - a2 - c2 + b2) × (2 × a × c + a2 + c2 - b2) / (2 × a)2

Aplicar las fórmulas de cálculo abreviadas:
(a2 - 2 × a × c + c2) = (a - c)2
(a2 + 2 × a × c + c2) = (a + c)2


  • h2 = (b2 - (a2 - 2 × a × c + c2)) × ((a2 + 2 × a × c + c2) - b2) / (2 × a)2
  • h2 = (b2 - (a - c)2) × ((a + c)2 - b2) / (2 × a)2
  • h2 = (b - a + c) × (b + a - c) × (a + c - b) × (a + c + b) / (2 × a)2
  • h2 = (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (2 × a)2

Sustituir h2 en la Fórmula del Área:


  • Área = 1/2 × a × h
  • Area2 = 1/4 × a2 × h2
  • Área2 = 1/4 × a2 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (4 × a2)
  • Área2 = 1/16 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)

Usa el semiperímetro s = (a + b + c)/2 para reescribir los factores de la última fórmula del área desde arriba:


  • s = (a + b + c)/2
  • a + b + c = 2 × s
  • b + c - a = 2 × s - 2 × a = 2 × (s - a)
  • a + c - b = 2 × s - 2 × b = 2 × (s - b)
  • a + b - c = 2 × s - 2 × c = 2 × (s - c)

Reescribe la última fórmula del área:


  • Área2 = 1/24 × 2 × s × 2 × (s - a) × 2 × (s - b) × 2 × (s - c)
  • Área2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c) - La Fórmula de Heron

  • Ejemplo: calculemos el área de un triángulo usando la fórmula de Heron

  • Calculemos el área de un triángulo cuyos lados miden a = 12, b = 17 y c = 14 unidades.

  • Área2 =

  • s × (s - a) × (s - b) × (s - c) =
  • 21,5 × (21,5 - 12) × (21,5 - 17) × (21,5 - 14) =
  • 21,5 × 9,5 × 4,5 × 7,5 =
  • 6.893,4375 ≈
  • 6.893,44

Área ≈ 83,026727624302 ≈ 83,03 unidades cuadradas