Coseno y Arcocoseno en un triángulo rectángulo

Coseno y arcocoseno. ¿Qué son y cómo calcularlos?

Definiciones y cálculos: coseno y arcocoseno



  • Definiciones

  • Definición 1: Coseno - En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo representa la relación entre el lado adyacente al ángulo y la hipotenusa.
  • cos(∠A) = c/b
  • Coseno y arcocoseno

    Coseno y arcocoseno

  • Definición 2: Arccos (el arcocoseno) - Esta es la inversa de la función matemática coseno estándar. Mientras la función coseno toma un ángulo y devuelve la razón correspondiente, el arccos toma una razón y devuelve el ángulo correspondiente.
  • Dado que cos y arccos son funciones inversas, arccos(cos(∡A)) = ∡A. Si aplicamos la función arccos a la igualdad anterior:
  • cos(∡A) = c/b => arccos(cos(∡A)) = arccos(c/b) <=>
  • ∡A = arccos(c/b) =>
  • arccos(c/b) = medida del ángulo ∡A

  • El coseno de los ángulos suplementarios

  • Definición: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a 180 grados (π radianes).
  • Ejemplo: Un ángulo de 120° es suplementario al de 60°, porque 120° + 60° = 180°.
  • Fórmula del coseno de ángulos suplementarios:

cos(180° - θ) = - cos(θ)


  • ¿Cómo demostramos esta fórmula?
  • Sobre el sistema de ejes ortogonales xOy tenemos el círculo con centro O y radio r.
  • Elegimos el punto A de la circunferencia de manera que la medida del ángulo que forma el segmento OA con el eje Ox sea igual a θ. C es la proyección del punto A sobre el eje Ox, es decir, AC es perpendicular a Ox. => En el triángulo rectángulo △AOC, la medida del ángulo ∡AOC es m(∡AOC) = θ.
  • El coseno de los ángulos suplementarios

    El coseno de los ángulos suplementarios

  • Elegimos el punto B del círculo de modo que la medida del ángulo que forma el segmento OB con el eje Ox sea igual a (180° - θ). D es la proyección del punto B sobre el eje Ox, es decir, BD es perpendicular a Ox. => En el triángulo rectángulo △BOD, la medida del ángulo ∡BOD es m(∡BOD) = θ.
  • Los triángulos rectángulos △AOC y △BOD son congruentes (ángulo, θ, hipotenusa, r) ​​=> OC congruente con OD, OC ≅ OD.
  • Los cosenos de los ángulos ∡AOC y ∡BOC son:

  • cos(∡AOC) = cos(θ) = OC/r
  • cos(∡BOC) = cos(180° - θ) = OD/r

    • Pero OD = - OC (tienen la misma longitud, siendo segmentos congruentes, pero están en cuadrantes diferentes en términos de Ox).


    • => cos(∡BOC) = cos(180° - θ) = - OC/r = - cos(θ)
    • => cos(180° - θ) = - cos(θ)

    • Ejemplos de cálculos

    • Ejemplo 1: Calculando el coseno
    • En un triángulo rectángulo que tiene la medida del ángulo ∡B = 90°, la longitud del lado b = 10 y la longitud del lado c = 6, el coseno del ángulo ∠A se calcula como:
    • Coseno y arcocoseno

      Coseno y arcocoseno


    cos(∠A) = c/b = 6/10 = 3/5 = 0,6


  • Ejemplo 2: Cálculo del arcocoseno
  • En un triángulo rectángulo que tiene la medida del ángulo ∡B = 90°, la longitud del lado b = 10 y la longitud del lado c = 6, la medida del ángulo ∡A se calcula como:
  • arccos(cos(∠A)) = medida del ángulo ∡A = arccos(c/b) = arccos(6/10) = arccos(3/5) = arccos(0,6) = 53,1301024° ≈ 53,13°.
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