Cómo encontrar el centro del círculo inscrito en un triángulo
Aprende a encontrar el centro del círculo inscrito en un triángulo. Las bisectrices de los ángulos del triángulo
Las bisectrices de los ángulos de un triángulo. El centro del círculo inscrito
¿Qué es la bisectriz de un ángulo?
- La bisectriz de un ángulo es un segmento de recta interior al ángulo, con origen en su vértice, que forma con los lados del ángulo dos ángulos congruentes más pequeños.
- Importante: Cualquier punto perteneciente a la bisectriz equidista de ambos lados del ángulo.
Bisectriz de un ángulo
¿Cómo encontrar el centro del círculo inscrito en un triángulo?
- En cualquier triángulo las bisectrices de los ángulos se cruzan exactamente en el mismo punto, que es el centro del círculo tangente a los lados del triángulo, llamado círculo inscrito en el triángulo. Este es el círculo más grande que cabe dentro del triángulo.
Las bisectrices y el círculo inscrito en el triángulo
- En el triángulo △ABC:
- AA' es la bisectriz del ángulo ∠BAC => ∠BAA' = ∠CAA' = ∠BAC / 2
- BB' es la bisectriz del ángulo ∠ABC => ∠ABB' = ∠CBB' = ∠ABC / 2
- CC' es la bisectriz del ángulo ∠ACB => ∠ACC' = ∠BCC' = ∠ACB / 2
Las bisectrices AA', BB' y CC' se cortan en el punto O, que es el centro del círculo inscrito en el triángulo.
¿Por qué el punto de intersección de las bisectrices es el centro del círculo inscrito en el triángulo?
- O es un punto en la bisectriz AA' por lo que es equidistante de los segmentos AB y AC =>
- [1] la distancia del punto O al segmento AB es OP, donde OP ⊥ AB (⊥ es el símbolo de los segmentos perpendiculares);
- [2] la distancia desde el punto O al segmento AC es ON, donde ON ⊥ AC;
- [3] OP ≅ ON.
- O es un punto en la bisectriz BB' por lo que es equidistante de los segmentos AB y BC =>
- [1] la distancia del punto O al segmento AB es OP, donde OP ⊥ AB;
- [2] la distancia del punto O al segmento BC es OM, donde OM ⊥ BC;
- [3] OP ≅ OM.
- De las relaciones anteriores, se deduce que OP ⊥ AB, OM ⊥ BC, ON ⊥ AC y OM = ON = OP = r, donde r es el radio del círculo inscrito en el triángulo.
- Notas:
- Un círculo inscrito en un triángulo es el círculo más grande que se puede dibujar dentro de un triángulo de modo que sea tangente a sus tres lados.
- Un círculo es tangente a una recta cuando la recta y el círculo tienen exactamente un punto en común. El segmento formado por el centro del círculo y el punto de contacto con la recta es perpendicular a la recta.