El teorema de Apolonio. Fórmula y demostración

• Las medianas en un triángulo

• Definición: La mediana de un triángulo es un segmento de línea que conecta un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.
• Cada triángulo tiene tres medianas que se encuentran en un único punto central, llamado centroide.
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  Las tres medianas del triángulo

• En el triángulo △ABC m_a es la mediana que conecta el vértice A con el medio del lado BC, m_b es la mediana que conecta el vértice B con el medio del lado AC y m_c es la mediana que conecta el vértice C con el medio del lado AB. Todas las medianas se cruzan en el punto G, el centroide.
• El punto G divide las longitudes de las tres medianas de la siguiente manera:

• ^AG/_AM = ^BG/_BP = ^CG/_CN = ²/₃
• ^GM/_AM = ^GP/_BP = ^GN/_CN = ¹/₃
• ^GM/_AG = ^GP/_BG = ^GN/_CG = ¹/₂
  

• Teorema de Apolonio

• En un triángulo △ABC, del cual conocemos las longitudes de los lados "a", "b" y "c", que tienen los vértices opuestos A, B y C, respectivamente, existe una relación entre las longitudes de los lados y las longitudes de las medianas m_a, m_b y m_c, de donde se extrae la mediana m_a vértice A al lado "a", la mediana m_b se dibuja desde el vértice B al lado "b", y m_c se dibuja desde el vértice C al lado "c":

• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) =>
• m_a² = ^{(b2 + c2)}/₂ - (^a/₂)²
• a² + c² = 2 × (m_b² + (^b/₂)²) =>
• m_b² = ^{(a2 + c2)}/₂ - (^b/₂)²
• a² + b² = 2 × (m_c² + (^c/₂)²) =>
• m_c² = ^{(a2 + b2)}/₂ - (^c/₂)²

• Demostración del teorema de Apolonio

• Demostramos el Teorema de Apolonio usando el Teorema de los Cosenos, también llamado Teorema de Pitágoras Generalizado, que también se usa para calcular las medidas de los ángulos en un triángulo.
• » Teorema del coseno o Teorema de Pitágoras generalizado. Fórmula y demostración
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  Las tres medianas del triángulo Demostración del teorema de Apolonio

• Sea la mediana AM, de longitud m_a, divida el lado BC, de longitud "a", en dos partes iguales, de longitud BM = CM = ^a/₂. También las piernas de AB = c, AC = b, BC = a.
• Sea la medida del ángulo ∡AMB = θ. Como la suma de dos ángulos en una línea recta es igual a 180°, entonces el ángulo adyacente ∡AMC = 180° - θ.

• => cos(180° - θ) = - cos(θ)
• » Coseno y Arcocoseno en un triángulo rectángulo

Aplica el Teorema de los Cosenos al triángulo △ABM, asegurándote de incluir también el ángulo ∡AMB = θ en la fórmula:

• c² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(θ)
• => [1] c² = m_a² + (^a/₂)² - m_a × a × cos(θ)

Aplica el Teorema de los Cosenos al triángulo △ACM, asegurándote de incluir también el ángulo ∡AMC = 180° - θ en la fórmula:

• b² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(180° - θ)
• Sustituto de la expresión: cos(180° - θ) = - cos(θ)
• La relación inicial anterior se convierte en:
• [2] b² = m_a² + (^a/₂)² + m_a × a × cos(θ)

• Suma las dos ecuaciones [1] y [2] juntas. Los términos "m_a × a × cos(θ)" y "- m_a × a × cos(θ)" se cancelan entre sí:

b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) - Teorema de Apolonio

• Ejemplo de cálculo

• Calculemos las medianas m_a, m_b y m_c de un triángulo si se dan las longitudes de todos los lados: a = 12, b = 10 y c = 8.
• Aplicar el Teorema de Apolonio y resolver para las medianas: