Teorema de Pitágoras, demostración mediante el uso de un cuadrado

• Teorema de Pitágoras

• En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

• c² = a² + b²
• Dónde:
• "a" y "b" son las longitudes de los dos catetos
• "c" es la longitud de la hipotenusa

• Teorema de Pitágoras generalizado

• El Teorema de Pitágoras generalizado, también llamado Teorema de los cosenos, establece una relación entre la longitud de un lado de un triángulo dado y los otros dos lados, usando el coseno del ángulo entre esos dos lados, de la siguiente manera:

c² = a² + b² - 2 × a × c × cos(∠C)

Sin embargo, si la medida del ángulo ∠C es m(∡C) = 90° => cos(90°) = 0, la fórmula del Teorema de Pitágoras generalizado se convierte en el Teorema de Pitágoras clásico:

c² = a² + b²

• » Coseno y Arcocoseno en un triángulo rectángulo
• » Teorema del coseno o Teorema de Pitágoras generalizado. Fórmula y demostración

• 1. Construimos un cuadrado con la longitud del lado L = a + b

• Colocamos dentro de este cuadrado cuatro triángulos rectángulos congruentes. Las longitudes de los catetos de estos cuadrados rectos son "a" y "b" respectivamente, como en la figura adyacente.
• La longitud de las cuatro hipotenusas es igual a "c".
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  Demostración del Teorema de Pitágoras usando el cuadrado

• Los cuatro triángulos son congruentes y las medidas de los ángulos α + β = 90°.
• Resulta que las medidas de los ángulos γ = 180° - (α + β) = 180° - 90° = 90°.
• Entonces resulta que el polígono de lado "c" es un cuadrado.

• 2. Calculamos el área del cuadrado grande mediante dos métodos

• El área del cuadrado grande, Área_L, se puede obtener de la forma más sencilla multiplicando sus lados:

Área_L = L × L = L² = (a + b)²

Sin embargo, el área del cuadrado grande, Área_L, también se puede obtener sumando las áreas de las formas geométricas que lo componen, es decir, los cuatro triángulos rectángulos congruentes y el cuadrado más pequeño, de lado "c", formado en el centro:

Área_L = 4 × ¹/₂ × a × b + c × c = 2 × a × b + c²

• 3. Ponemos las dos relaciones en igualdad:

• Ambas ecuaciones representan el área del cuadrado grande, Área_L, calculada de diferentes maneras, por lo que son iguales entre sí.

2 × a × b + c² = (a + b)²

Deshacer el corchete:

2 × a × b + c² = a² + 2 × a × b + b²

Tachamos el término común, "2 × a × b", en ambos lados de la igualdad, y obtenemos el Teorema de Pitágoras:

c² = a² + b²

• ¿Por qué es importante el teorema de Pitágoras?

• El teorema de Pitágoras establece una relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
• Aplicando el teorema de Pitágoras podemos determinar si un triángulo es rectángulo o no.
• El teorema de Pitágoras tiene muchas aplicaciones prácticas: en geometría es la base de la trigonometría, se usa para calcular las distancias entre dos puntos en un mapa, es la base de sistemas de localización en mapas digitales o para establecer rutas, se usa en construcción y arquitectura para construir ángulos de 90 grados, y en física e ingeniería para descomponer fuerzas o velocidades.

• Ejemplo 1: cálculo de la hipotenusa en un triángulo rectángulo

• Tenemos un triángulo rectángulo con catetos de longitudes a = 3 y b = 4, calculemos la longitud de la hipotenusa, "c".

• Ejemplo 2: comprobamos si un triángulo es rectángulo

• Tenemos un triángulo con lados de longitud a = 4, b = 7 y c = 8, verifiquemos si es un triángulo rectángulo.
• Asumimos que el triángulo es rectángulo, aplicamos el Teorema de Pitágoras y vemos si se verifica.

El teorema de Pitágoras no se verifica, por lo que el triángulo no es rectángulo.