Cómo calcular las longitudes de las medianas de un triángulo, dadas las longitudes de los tres lados

• Las medianas en un triángulo

• Definición: La mediana de un triángulo es un segmento de línea que conecta un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.
• Cada triángulo tiene tres medianas que se encuentran en un único punto central, llamado centroide.
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  Las tres medianas del triángulo

• En el triángulo △ABC m_a es la mediana que conecta el vértice A con el medio del lado BC, m_b es la mediana que conecta el vértice B con el medio del lado AC y m_c es la mediana que conecta el vértice C con el medio del lado AB. Todas las medianas se cruzan en el punto G, el centroide.
• El punto G divide las longitudes de las tres medianas de la siguiente manera:

• ^AG/_AM = ^BG/_BP = ^CG/_CN = ²/₃
• ^GM/_AM = ^GP/_BP = ^GN/_CN = ¹/₃
• ^GM/_AG = ^GP/_BG = ^GN/_CG = ¹/₂
  

• Teorema de Apolonio

• En un triángulo △ABC, del cual conocemos las longitudes de los lados "a", "b" y "c", que tienen los vértices opuestos A, B y C, respectivamente, existe una relación entre las longitudes de los lados y las longitudes de las medianas m_a, m_b y m_c, de donde se extrae la mediana m_a vértice A al lado "a", la mediana m_b se dibuja desde el vértice B al lado "b", y m_c se dibuja desde el vértice C al lado "c":

• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) =>
• m_a² = ^{(b2 + c2)}/₂ - (^a/₂)²
• a² + c² = 2 × (m_b² + (^b/₂)²) =>
• m_b² = ^{(a2 + c2)}/₂ - (^b/₂)²
• a² + b² = 2 × (m_c² + (^c/₂)²) =>
• m_c² = ^{(a2 + b2)}/₂ - (^c/₂)²

» Teorema de Apolonio y las medianas en un triángulo. Fórmula. Demostración

• Ejemplo no. 1

• Dos de las tres medianas deben ser iguales en un triángulo isósceles. Calculemos estas tres medianas m_a, m_b y m_c y veamos si dos de ellas son iguales o no. Las longitudes de los lados están dadas por: a = 10, b = 6 y c = 10.
• Aplicar el Teorema de Apolonio y resolver para las medianas:

Podemos ver que dos de las medianas son iguales, las que corresponden a los lados congruentes, m_a ≅ m_c

• Ejemplo no. 2

• La longitud de una mediana en un triángulo rectángulo con un ángulo de 30 grados, correspondiente a la hipotenusa, debe ser la mitad de la longitud de la hipotenusa. Las longitudes de los lados en este triángulo se dan de la siguiente manera: a = 10 (hipotenusa), b = 5 y c = 8,66025 Calculemos la mediana m_a de este triángulo rectángulo, correspondiente a la hipotenusa, y comprobemos la regla mencionada anteriormente.
• Aplicar el Teorema de Apolonio y resolver para las medianas:

Podemos ver que la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa, m_a, es la mitad de la longitud de la hipotenusa.

• Ejemplo no. 3

• Calculemos las medianas m_a, m_b y m_c de un triángulo si se dan las longitudes de todos los lados: a = 10, b = 6 y c = 10.
• Aplicar el Teorema de Apolonio y resolver para las medianas: