¿Cómo demostrar la fórmula de cálculo del radio del círculo circunscrito de un triángulo?

• Fórmula de cálculo del radio del círculo circunscrito de un triángulo

• Para calcular R, el radio del círculo que circunscribe el triángulo △ABC, aplique la fórmula:
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  Círculo circunscrito de un triángulo, de radio R

• R = ^{(a × b × c)} / _{(4 × Área)}
• Dónde:
• "a", "b" y "c" son las longitudes de los tres lados del triángulo △ABC
• R es el radio del círculo circunscrito del triángulo △ABC
• Área es el área del triángulo △ABC

» Cómo encontrar el centro del círculo circunscrito a un triángulo

• ¿Cómo probar la fórmula de cálculo del radio del círculo circunscrito?

• Usamos el Teorema del seno y la Fórmula trigonométrica del área de un triángulo para probar la fórmula del radio anterior.
• 1) El Teorema del seno establece la relación entre las longitudes de los lados "a", "b" y "c" del triángulo △ABC, y los senos de los ángulos opuestos, ∠A, ∠B y ∠C:

• [1] ^a / _sin(∠A) = ^b / _sin(∠B) = ^c / _sin(∠C) = 2 × R
• Dónde:
• R es el radio del círculo circunscrito del triángulo △ABC
• "a", "b" y "c" son las longitudes de los tres lados del triángulo △ABC
• ∠A, ∠B y ∠C son los ángulos del triángulo △ABC

» Teorema del seno en un triángulo, demostración en el círculo circunscrito

• 2) La fórmula trigonométrica del área establece que el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de las longitudes de dos lados del triángulo por el seno del ángulo entre ellos:
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  ¿Cómo probar la fórmula de cálculo del radio del círculo circunscrito?

• [2] Área = ¹/₂ × b × c × sin(∠A)
• Dónde:
• "b" y "c" son las longitudes de dos de los lados del triángulo △ABC
• ∠A es el ángulo entre los lados con longitudes "b" y "c"

» Cómo calcular el área de un triángulo, dadas las longitudes de dos lados y la medida del ángulo entre ellos. Fórmula trigonométrica

De la relación [1], del teorema del seno, podemos deducir la fórmula del seno del ángulo ∠A:

[3] sin(∠A) = ^a/_{(2 × R)}

Sustituto por sin(∠A) en la relación [2], de la fórmula trigonométrica del área:

Resolver para R en la relación anterior, del área, y así se prueba la fórmula de cálculo del radio del círculo circunscrito de un triángulo:

R = ^{a × b × c}/_{(4 × Área)}