Seno y arcoseno en un triángulo rectángulo

• Definiciones

• Definición 1: El seno - En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo representa la razón entre el lado opuesto a ese ángulo y la hipotenusa.
• sin(∠A) = ^a/_b
• 

  Seno y arcoseno

• Definición 2: Arcsin (el arcoseno) - Esta es la inversa de la función matemática seno estándar. Mientras la función seno toma un ángulo y devuelve la razón correspondiente, el arcosen toma una razón y devuelve el ángulo correspondiente.
• Dado que sin y arcsin son funciones inversas, arcsin(sin(∡A)) = ∡A. Si aplicamos la función arcsin a la igualdad anterior:
• sin(∡A) = ^a/_b => arcsin(sin(∡A)) = arcsin(^a/_b) <=>
• ∡A = arcsin(^a/_b) =>
• arcsin(^a/_b) = medida del ángulo ∡A

• El seno de los ángulos suplementarios

• Definición: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a 180 grados (π radianes).
• Ejemplo: Un ángulo de 110° es suplementario al de 70°, porque 110° + 70° = 180°.
• Fórmula del seno de ángulos suplementarios:

sin(180° - θ) = sin(θ)

• ¿Cómo demostramos esta fórmula?
• Sobre el sistema de ejes ortogonales xOy tenemos la circunferencia con centro O y radio r.
• Elegimos el punto A de la circunferencia de manera que la medida del ángulo que forma el segmento OA con el eje Ox sea igual a θ. C es la proyección del punto A sobre el eje Ox, es decir, AC es perpendicular a Ox. => En el triángulo rectángulo △AOC, la medida del ángulo ∡AOC es m(∡AOC) = θ.
• 

  El seno de los ángulos suplementarios

• Elegimos el punto B del círculo de modo que la medida del ángulo que forma el segmento OB con el eje Ox sea igual a (180° - θ). D es la proyección del punto B sobre el eje Ox, es decir, BD es perpendicular a Ox. => En el triángulo rectángulo △BOD, la medida del ángulo ∡BOD es m(∡BOD) = θ.
• Los triángulos rectángulos △AOC y △BOD son congruentes (ángulo, θ, hipotenusa, r) ​​=> AC congruente con BD, AC ≅ BD.
• Los senos de los ángulos ∡AOC y ∡BOC son:

Pero BD = AC (tienen la misma longitud, son segmentos congruentes y están en cuadrantes similares en términos de Ox).

• => sin(∡BOC) = sin(180° - θ) = ^AC/_r = sin(θ)
• => sin(180° - θ) = sin(θ)

• Ejemplos de cálculos

• Ejemplo 1: Cálculo del seno
• En un triángulo rectángulo que tiene la medida del ángulo ∡B = 90°, la longitud del lado b = 10 (el lado opuesto al ángulo ∡B) y la longitud del lado a = 4 (el lado opuesto al ángulo ∡A), el seno del ángulo ∠A se calcula como:
• 

  Seno y arcoseno

sin(∠A) = ^a/_b = ⁴/₁₀ = ²/₅ = 0,4

• Ejemplo 2: Cálculo del arcoseno
• En un triángulo rectángulo que tiene la medida del ángulo ∡B = 90°, la longitud del lado b = 10 (el lado opuesto al ángulo ∡B) y la longitud del lado a = 4 (el lado opuesto al ángulo ∡A), la medida del ángulo ∡A se calcula como:
• arcsin(sin(∠A)) = medida del ángulo ∡A = arcsin(^a/_b) = arcsin(⁴/₁₀) = arcsin(²/₅) = arcsin(0,4) = 23,578178478202° ≈ 23,58°.