Resuelve el triángulo dadas las longitudes de sus tres lados: 111, 72 y 121. Calculadora de triángulos: ángulos, área, (semi)perímetro, alturas, medianas, radios de círculos

Calcula los ángulos y el área del triángulo, el (semi)perímetro, las tres alturas y medianas y los radios de los círculos inscritos y circunscritos del triángulo


  • El triángulo dado se resuelve a continuación paso a paso, con explicaciones completas de las fórmulas utilizadas, explicaciones claras de los términos utilizados y con imágenes ilustrativas.
  • Al final, todos los datos calculados del triángulo se resumen en una sección.
  • El orden de los pasos para resolver el triángulo: 1) calcular el perímetro, 2) el semiperímetro, 3) las medidas de los ángulos, 4) el área - calculada por dos métodos, 5) las longitudes de las tres alturas del triángulo, 6) las longitudes de las tres medianas del triángulo, 7) el radio del círculo inscrito y 8) el radio del círculo circunscrito.

Triángulo escaleno

  • Este es un triángulo escaleno, con todas las longitudes de sus lados diferentes entre sí, sin ser un triángulo rectángulo.
  • El triángulo no es equilátero, ni isósceles, ni rectángulo, cosas que se puedan determinar fácilmente por las longitudes de los lados.

2. Calcular el Semiperímetro, s = (a + b + c) / 2

Divide el perímetro por 2.

  • s =
  • (111 + 72 + 121) / 2 =
  • 304 / 2 =
  • 152

3. Calcula las medidas de los ángulos del triángulo

  • Definiciones

  • Definición 1: El coseno - En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo representa la relación entre el lado adyacente al ángulo y la hipotenusa.
  • cos(∠A) = c/b
  • Coseno y arcocoseno

    Coseno y arcocoseno

  • Definición 2: Arccos (el arcocoseno): esta es la inversa de la función matemática coseno estándar. Mientras que la función coseno toma un ángulo y devuelve la razón correspondiente, el arcocos toma una razón y devuelve el ángulo correspondiente.
  • Dado que cos y arccos son funciones inversas, arccos(cos(∡A)) = ∡A; si aplicamos la función arccos a la igualdad anterior:
  • cos(∡A) = c/b => arccos(cos(∡A)) = arccos(c/b) <=>
  • ∡A = arccos(c/b) =>
  • arccos(c/b) = medida del ángulo ∡A

  • Ejemplos de cálculos

  • Ejemplo 1: Cálculo del coseno
  • En un triángulo rectángulo que tiene la medida del ángulo ∡B = 90°, la longitud del lado b = 10 y la longitud del lado c = 6, el coseno del ángulo ∠A se calcula como:
  • cos(∠A) = c/b = 6/10 = 3/5 = 0,6.
  • Ejemplo 2: Calculando el arcocoseno
  • En un triángulo rectángulo que tiene la medida del ángulo ∡B = 90°, la longitud del lado b = 10 y la longitud del lado c = 6, la medida del ángulo ∡A se calcula como:
  • arccos(cos(∠A)) = medida del ángulo ∡A = arccos(c/b) = arccos(6/10) = arccos(3/5) = arccos(0.6) = 53.1301024° ≈ 53,13°.

Para calcular las medidas de los ángulos, usa las tres fórmulas siguientes.

Estas fórmulas se derivan del Teorema del Coseno (o el Teorema de Pitágoras generalizado, o teorema de al-Kashi).


  • m(∡A) = arccos((b2 + c2 - a2) / (2 × b × c))
  • m(∡B) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
  • m(∡C) = arccos((a2 + b2 - c2) / (2 × a × b))
  • Donde:
  • a = el lado del triángulo opuesto al ángulo ∠A
  • b = el lado del triángulo opuesto al ángulo ∠B
  • c = el lado del triángulo opuesto al ángulo ∠C

  • ¿Por qué esta fórmula? Prueba del teorema del coseno

  • En cualquier triángulo △ABC, que no sea rectángulo, con lados de longitud BC = a, AC = b y AB = c, trazamos desde el vértice A la perpendicular al lado BC, que corta a BC en el punto D. Anotamos las longitudes de los lados AD = ha, BD = a1 y CD = a2, donde a1 + a2 = a.
  • Prueba del teorema del coseno

    Prueba del teorema del coseno

  • En el triángulo rectángulo △ABD tenemos las siguientes relaciones trigonométricas:
  • sin(∠B) = ha/c => ha = c × sin(∠B)
  • cos(∠B) = a1/c => a1 = c × cos(∠B)
  • En el triángulo rectángulo △ADC aplicamos el Teorema de Pitágoras:
  • b2 = ha2 + a22 <=>
  • b2 = ha2 + (a - a1)2
  • Sustituya ha y a1 en la fórmula anterior:
  • b2 = c2 × sin2(∠B) + (a - c × cos(∠B))2 <=>
  • b2 = c2 × sin2(∠B) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) + c2 × cos2(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (sin2(∠B) + cos2(∠B)) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (ha2/c2 + a12/c2) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (ha2 + a12)/c2 + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • En el triángulo rectángulo △ABD ha2 + a12 = c2 (Teorema de Pitágoras) =>
  • (ha2 + a12)/c2 = 1 =>
  • b2 = c2 + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • cos(∠B) = (a2 + c2 - b2) / (2 × a × c)
  • Aplicar la función arccos a ambos lados de la igualdad:
  • arccos(cos(∠B)) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c)) =>
  • m(∡B) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
  • El mismo proceso se utiliza para calcular las medidas de los ángulos ∠A y ∠C.

  • Últimas tres definiciones: π. Radianes. Grados

  • Definición: π representa la relación constante entre la circunferencia de un círculo, C, y su diámetro, d (d = 2 × r, donde r es el radio del círculo), que es aproximadamente 3,14159, comúnmente estimado como la fracción 22/7.
    π = C/d = C/(2 × r)
  • Medida de ángulo: π. Radianes. Grados

    Medida de ángulo: π. Radianes. Grados

  • Definición: Un radian es una unidad estándar de medida de ángulos. Un radian es igual a aquel ángulo que se forma cuando la longitud del arco de un círculo es igual al radio de ese mismo círculo. Hay exactamente 2π radianes en la circunferencia (la longitud) de un círculo (cualquier círculo). 1 radianes equivale aproximadamente a 57,296° (grados). Un ángulo de 360° = 2π radianes, 180° = π radianes, 90° = π/2 radianes, 45° = π/4 radianes.
  • Definición: Los ángulos generalmente se miden en grados (°). Un grado es una unidad estándar de medida de ángulos. El ángulo que forma una circunferencia completa es 360°. Un ángulo obtuso está entre (90° y 180°). Un ángulo recto mide 90°. Un ángulo agudo está entre (0° y 90°).

Calcula la medida del ángulo ∠A

  • m(∡A) =
  • arccos((722 + 1212 - 1112) / (2 × 72 × 121)) =
  • arccos((5.184 + (121 + 111) × (121 - 111))) / 17.424) =
  • arccos((5.184 + 232 × 10)) / 17.424) =
  • arccos((5.184 + 2.320)) / 17.424) =
  • arccos(7.504/17.424) =
  • arccos(0,430670339761) =
  • 1.1255609302985 radianes =
  • (1.1255609302985 radianes × 360 grados) / (2 × π radianes) =
  • (1.1255609302985 × 180 grados) / π =
  • 64.489890890923 grados =
  • 64 grados, 29 minutos y 23.61 segundos

Calcula la medida del ángulo ∠B

  • m(∡B) =
  • arccos((1112 + 1212 - 722) / (2 × 111 × 121)) =
  • arccos((12.321 + (121 + 72) × (121 - 72))) / 26.862) =
  • arccos((12.321 + 193 × 49)) / 26.862) =
  • arccos((12.321 + 9.457)) / 26.862) =
  • arccos(21.778/26.862) =
  • arccos(0,810736356191) =
  • 0.62538746112314 radianes =
  • (0.62538746112314 radianes × 360 grados) / (2 × π radianes) =
  • (0.62538746112314 × 180 grados) / π =
  • 35.832062082758 grados =
  • 35 grados, 49 minutos y 55.42 segundos

Calcula la medida del ángulo ∠C

  • m(∡C) =
  • arccos((1112 + 722 - 1212) / (2 × 111 × 72)) =
  • arccos((12.321 + (72 + 121) × (72 - 121))) / 15.984) =
  • arccos((12.321 + 193 × - 49)) / 15.984) =
  • arccos((12.321 + - 9.457)) / 15.984) =
  • arccos(2.864/15.984) =
  • arccos(0,179179179179) =
  • 1.3906442621684 radianes =
  • (1.3906442621684 radianes × 360 grados) / (2 × π radianes) =
  • (1.3906442621684 × 180 grados) / π =
  • 79.678047026334 grados =
  • 79 grados, 40 minutos y 40.97 segundos

Comprueba que la suma de los ángulos ∡A + ∡B + ∡C = 180°.

  • ∡A = 64.489890890923°
  • ∡B = 35.832062082758°
  • ∡C = 79.678047026334°

Nota: La suma de los ángulos es aproximadamente 180° en lugar de exactamente 180°. Esto se debe a que realizamos cálculos que requerían redondeo: calcular los arcocos y convertir de radianes a grados.


  • m(∡A) + m(∡B) + m(∡C) =
  • 64.489890890923° + 35.832062082758° + 79.678047026334° =
  • 180.000000000015° ≈ 180°

4.1. Calcular el área del triángulo

Método 1. Más largo

  • Este método requiere más pasos para llegar al resultado que el segundo.
  • En teoría, ambas fórmulas de cálculo llegarán exactamente al mismo resultado. Pero en la práctica, cuando se utilizan herramientas de cálculo que implican redondeo y aproximaciones, es mejor utilizar el método de cálculo que implica menos pasos y menos aproximaciones.
  • Este método se presenta aquí con fines demostrativos, calcularemos el área usando el segundo método, que implica menos pasos y menos aproximaciones.

  • La fórmula clásica:

  • Área = 1/2 × a × ha
  • Donde:
  • a = el lado del triángulo opuesto al ángulo ∠A
  • ha = la altura AD desde el vértice A hasta el lado "a" (BC), donde D pertenece a la recta que contiene el segmento BC.
  • La altura ha expresada en función del lado

    La altura ha expresada en función del lado "b" y del seno del ángulo C

  • == Pero no sabemos la altura ha. ¿Cómo procedemos? ==
  • Usando trigonometría, en el triángulo rectángulo △ADC (∡D = 90°), formado a la derecha de la altura ha:
  • sin(∠C) = ha / b
  • Se deduce que ha = b × sin(∠C).
  • Sustituye la altura ha en la fórmula clásica del área y obtiene:

  • Fórmula trigonométrica:

  • Área = 1/2 × a × b × sin(∠C)

Calcular el área del triángulo

  • Área =

  • 1/2 × a × b × sin(∠C) =
  • 1/2 × 111 × 72 × sin(79.678047026334 grados) =
  • 1/2 × 111 × 72 × sin(1.3906442621684 radianes) ≈
  • 3.996 × 0,983816457348 =
  • 3.931,330563562608 ≈
  • 3.931,33 unidades cuadradas

Nota: El área se calculará utilizando el segundo método, que implica menos pasos y aproximaciones.



4.2. Calcular el área del triángulo

Método 2. Más corto

  • Fórmula de Heron

  • Dadas las longitudes de sus tres lados, el área de un triángulo se puede calcular usando la Fórmula de Heron:
  • Área2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c)
  • Donde:
  • "a", "b" y "c" son las longitudes de los tres lados del triángulo
  • "s" es el semiperímetro del triángulo, ya calculado arriba

  • Demostración pitagórica paso a paso de la fórmula de Herón

  • Considere un triángulo △ABC con sus lados BC = a, AC = by AB = c. Dibuja la altura desde el vértice A, opuesto al lado "a", AD ⊥ BC, D ∈ BC, AD = h. Ad divide la base "a" en dos segmentos, BD = x y CD = a - x.
  • El triángulo △ABC para la fórmula de Heron

    El triángulo △ABC para la fórmula de Heron

  • Aplicar el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo △ADB:
  • h2 + x2 = c2 =>
  • h2 = c2 - x2
  • Aplicar el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo △ADC:
  • h2 + (a - x)2 = b2 =>
  • h2 = b2 - (a - x)2
  • Igualar las dos expresiones para h2 y resolver para el segmento "x":
  • c2 - x2 = b2 - (a - x)2 <=>
  • c2 - x2 = b2 - (a2 - 2 × a × x + x2) <=>
  • c2 - x2 = b2 - a2 + 2 × a × x - x2 <=>
  • c2 = b2 - a2 + 2 × a × x <=>
  • 2 × a × x = a2 + c2 - b2 <=>
  • x = (a2 + c2 - b2)/(2 × a)
  • Sustituya "x" nuevamente en la fórmula de h2 y calcule la altura "h":
  • h2 = c2 - x2 <=>
  • h2 = c2 - ((a2 + c2 - b2)/(2 × a))2
  • Descomponer la expresión en factores usando la regla de la diferencia de cuadrados, c2 - x2 = (c - x) × (c+x):
  • h2 = ((2 × a × c)2 - (a2 + c2 - b2)2) / (2 × a))2 <=>
  • h2 = (2 × a × c - a2 - c2 + b2) × (2 × a × c + a2 + c2 - b2) / (2 × a)2 <=>
  • h2 = (b2 - (a2 - 2 × a × c + c2)) × ((a2 + 2 × a × c + c2) - b2) / (2 × a)2 <=>
  • h2 = (b2 - (a - c)2) × ((a + c)2 - b2) / (2 × a)2 <=>
  • h2 = (b - a + c) × (b + a - c) × (a + c - b) × (a + c + b) / (2 × a)2 <=>
  • h2 = (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (2 × a)2
  • Sustituir h2 en el área del triángulo Fórmula:
  • Área = 1/2 × a × h => Área2 = 1/4 × a2 × h2 =>
  • Área2 = 1/4 × a2 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (4 × a2) <=>
  • [1] Área2 = 1/16 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)
  • Usa el semiperímetro s = (a + b + c)/2 para expresar los factores de la fórmula [1] anterior:
  • => a + b + c = 2 × s
  • => b + c - a = 2 × s - 2 × a = 2 × (s - a)
  • => a + c - b = 2 × s - 2 × b = 2 × (s - b)
  • => a + b - c = 2 × s - 2 × c = 2 × (s - c)
  • Reescribir la fórmula [1]:
  • Área2 = 1/24 × 2 × s × 2 × (s - a) × 2 × (s - b) × 2 × (s - c) <=>
  • Área2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c) - Fórmula de Heron

Calcular el área del triángulo

  • Área2 =

  • s × (s - a) × (s - b) × (s - c) =
  • 152 × (152 - 111) × (152 - 72) × (152 - 121) =
  • 152 × 41 × 80 × 31 =
  • 15.455.360

Área ≈ 3.931,330563562418 ≈ 3.931,33 unidades cuadradas

5. Calcula las tres alturas del triángulo

  • Definición: La altura de un triángulo es un segmento de línea recta dibujado desde un vértice, perpendicular (en un ángulo de 90 grados) al lado opuesto. Todo triángulo tiene tres alturas. Las tres alturas siempre se cruzan en un único punto, que se llama ortocentro.
  • Las tres alturas del triángulo

    Las tres alturas del triángulo

  • En el triángulo △ABC ha es la altura a partir del vértice A, perpendicular al lado BC, ha ⊥ BC. hb es la altura a partir del vértice B, perpendicular al lado AC, hb ⊥ AC. hc parte del vértice C, perpendicular al lado AB, hc ⊥ AB. Todos se cruzan en el punto H, el ortocentro.
  • Conociendo el área y los lados del triángulo, podemos calcular las alturas ha, hb y hc desde los vértices A, B y C hasta los lados a, b y c respectivamente.
  • Partiendo de la fórmula clásica de área:
  • Área = 1/2 × a × ha =>
  • ha = 2 × Área / a ≈ 70,834784929053 ≈ 70,83
  • Área = 1/2 × b × hb =>
  • hb = 2 × Área / b ≈ 109,203626765623 ≈ 109,2
  • Área = 1/2 × c × hc =>
  • hc = 2 × Área / c = 64,980670472106 ≈ 64,98

6. Calcula las longitudes de las tres medianas del triángulo

  • Definición: La mediana de un triángulo es un segmento de línea que conecta un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene tres medianas que se encuentran en un único punto central, llamado baricentro.
  • Las tres medianas del triángulo

    Las tres medianas del triángulo

  • En el triángulo △ABC ma es la mediana que conecta el vértice A con el centro del lado BC, mb es la mediana que conecta el vértice B con el centro del lado AC y mc es la mediana que conecta el vértice C con el centro del lado AB. Todos se cruzan en el punto G, el baricentro.
  • El baricentro G divide las longitudes de las tres medianas de la siguiente manera:
  • AG/AM = BG/BP = CG/CN = 2/3
  • GM/AM = GP/BP = GN/CN = 1/3
  • GM/AG = GP/BG = GN/CG = 1/2

  • Teorema de Apolonio

  • == Prueba del teorema de Apolonio al final de la sección. ==
  • En un triángulo △ABC, del cual conocemos las longitudes de los lados "a", "b" y "c", que tiene los vértices opuestos A, B y C, respectivamente, existe la relación entre las longitudes de los lados y las longitudes de las medianas ma, mb y mc, donde ma va del vértice A al lado "a", mb va del vértice B al lado "b", y mc va del vértice A al lado "c":
  • b2 + c2 = 2 × (ma2 + (a/2)2) =>
  • ma2 = (b2 + c2)/2 - (a/2)2= 6.832,25 =>
  • La mediana ma ≈ 82,657425558748 ≈ 82,66
  • a2 + c2 = 2 × (mb2 + (b/2)2) =>
  • mb2 = (a2 + c2)/2 - (b/2)2= 12.185 =>
  • La mediana mb ≈ 110,385687478042 ≈ 110,39
  • a2 + b2 = 2 × (mc2 + (c/2)2) =>
  • mc2 = (a2 + b2)/2 - (c/2)2= 5.092,25 =>
  • La mediana mc ≈ 71,360002802691 ≈ 71,36

  • Prueba del teorema de Apolonio

  • Demostramos el teorema de Apolonio usando la teorema del coseno, que demostramos anteriormente, cuando calculamos las medidas de los ángulos.
  • Las tres medianas del triángulo

    Las tres medianas del triángulo

  • Sea la mediana AM, de longitud ma, dividir el lado BC, de longitud "a", en dos partes iguales, de longitud BM = CM = a/2. También AB = c, AC = b, BC = a.
  • Sea la medida del ángulo ∡AMB = θ. Dado que dos ángulos en una línea recta sumados suman 180°, entonces el ángulo adyacente ∡AMC = 180° - θ.
  • => cos(180° - θ) = - cos(θ)
  • Aplica la teorema del coseno al triángulo △ABM, asegurándote de incluir también el ángulo ∡AMB = θ en la fórmula:
  • c2 = ma2 + (a/2)2 - 2 × ma × a/2 × cos(θ) =>
  • [1] c2 = ma2 + (a/2)2 - ma × a × cos(θ)
  • Aplica la teorema del coseno al triángulo △ACM, asegurándote de incluir también el ángulo ∡AMC = 180° - θ en la fórmula:
  • b2 = ma2 + (a/2)2 - 2 × ma × a/2 × cos(180° - θ)
  • cos(180° - θ) = - cos(θ)
  • La relación anterior se convierte en:
  • [2] b2 = ma2 + (a/2)2 + ma × a × cos(θ)
  • Suma las dos ecuaciones [1] y [2] juntas. Los términos ma × un &veces; cos(θ) y - ma × un &veces; cos(θ) se cancelan entre sí:
  • b2 + c2 = 2 × (ma2 + (a/2)2)

7. Calcular el radio del círculo inscrito

  • Intro

  • La bisectriz de un ángulo es la mitad recta dentro del ángulo, con el origen en su vértice, que forma dos ángulos congruentes con los lados del ángulo. Cualquier punto perteneciente a la bisectriz equidista de ambos lados del ángulo.
  • Bisectriz de un ángulo

    Bisectriz de un ángulo

  • En cualquier triángulo las bisectrices de los ángulos son concurrentes en un punto que es el centro del círculo tangente a los lados del triángulo, llamado círculo inscrito en el triángulo. Este es el círculo más grande que cabe dentro del triángulo.
  • Las bisectrices y el círculo inscrito en el triángulo

    Las bisectrices y el círculo inscrito en el triángulo

  • En el triángulo △ABC, AA' es la bisectriz del ángulo ∠BAC => ∠BAA' = ∠CAA' = ∠BAC / 2
  • BB' es la bisectriz del ángulo ∠ABC => ∠ABB' = ∠CBB' = ∠ABC / 2
  • CC' es la bisectriz del ángulo ∠ACB => ∠ACC' = ∠BCC' = ∠ACB / 2
  • Las bisectrices AA', BB' y CC' se cortan en el punto O, que es el centro del círculo inscrito en el triángulo. ¿Por qué sucede esto?
  • O es un punto en la bisectriz AA' por lo que es equidistante de los segmentos AB y AC => [1] la distancia del punto O al segmento AB es OP, donde OP ⊥ AB (⊥ es el símbolo de los segmentos perpendiculares), [2] la distancia del punto O al segmento AC es ON, donde ON ⊥ AC y [3] OP ≅ ON.
  • O es un punto en la bisectriz BB' por lo que es equidistante de los segmentos AB y BC => [1] la distancia del punto O al segmento AB es OP, donde OP ⊥ AB, [2] la distancia del punto O al segmento BC es OM, donde OM ⊥ BC y [3] OP ≅ OM.
  • De las relaciones anteriores, se deduce que OM = ON = OP = r, donde r es el radio del círculo inscrito en el triángulo

Calcular el radio del círculo inscrito

  • Para calcular el radio del círculo inscrito en el triángulo, se divide el área del triángulo por su semiperímetro:
  • r = Área / s
  • Donde:
  • r = radio del círculo inscrito en el triángulo
  • "s" es el semiperímetro del triángulo, ya calculado arriba
  • ¿Por qué esta fórmula? ¿Cómo demostramos la fórmula?
  • El área del triángulo △ABC = área △OAB + área △OBC + área △OAC = 1/2 × OP × AB + 1/2 × OM × BC + 1/2 × ON × AC = 1/2 × r × AB + 1/2 × r × BC + 1/2 × r × AC = 1/2 × r × (AB + BC + AC) = 1/2 × r × Perímetro = Perímetro/2 × r = Semiperímetro × r =>
    r = Área / Semiperímetro = Área / s
  • r = 3.931,330563562418 / 152 ≈ 25,864016865542 ≈ 25,86

8. Calcular el radio del círculo circunscrito

  • Intro

  • La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su centro. Cualquier punto perteneciente a la mediatriz equidista de los extremos del segmento.
  • Las mediatrices y la circunferencia circunscrita del triángulo

    Las mediatrices y la circunferencia circunscrita del triángulo

  • En cualquier triángulo las mediatrices de los lados son concurrentes en un punto que es el centro del círculo que pasa por los vértices del triángulo, llamado círculo circunscrito del triángulo.
  • En el triángulo △ABC, OM1 es la mediatriz del segmento BC => BM1 = CM1 = BC / 2 = a / 2, donde "a" es la longitud del segmento BC.
  • OM2 es la mediatriz del segmento AC => AM2 = CM2 = AC / 2 = b / 2, donde "b" es la longitud del segmento AC.
  • OM3 es la mediatriz del segmento AB => AM3 = BM3 = AB / 2 = c / 2, donde "c" es la longitud del segmento AB.
  • Las mediatrices OM1, OM2 y OM3 se cortan en el punto O, que es el centro del círculo circunscrito del triángulo. ¿Por qué sucede esto?
  • O es un punto en la mediatriz OM1 => BM1 = CM1 = a/2, OM1 ⊥ BC (⊥ es el símbolo de segmentos o rectas perpendiculares), y OM1 segmento común => triángulos rectángulos △OBM1 ≅ △OCM1 => OB ≅ OC.
  • O es un punto en la mediatriz OM2 => AM2 = CM2 = b/2, OM2 ⊥ AC y segmento común OM2 => triángulos rectángulos △OAM2 ≅ △OCM2 => OA ≅ OC.
  • De las relaciones anteriores, se deduce que OA = OB = OC = R, donde R es el radio del círculo que circunscribe el triángulo.

Calcular el radio del círculo circunscrito

  • Para calcular R, el radio del círculo que circunscribe el triángulo, aplica la fórmula:
  • R = a × b × c / (4 × Área)
  • Donde:
  • "a", "b" y "c" son las longitudes de los tres lados del triángulo
  • ¿Por qué esta fórmula? ¿Cómo demostramos la fórmula?
  • El Teorema de los Senos establece la relación entre las longitudes de los lados "a", "b" y "c" de un triángulo, por ejemplo △ABC, y los senos de los ángulos opuestos, ∠A, ∠B y ∠C:
  • [1] a/sin(∠A) = b/sin(∠B) = c/sin(∠C) = 2 × R
  • R es el radio del círculo circunscrito del triángulo △ABC.
  • También usamos la Fórmula Trigonométrica del Área que demostramos anteriormente, cuando hemos estado calculando el área:
  • [2] Área = 1/2 × b × c × sin(∠A)
  • De la relación [1] podemos deducir que:
  • [3] sin(∠A) = a/(2 × R)
  • Sustituir sin(∠A) en la relación [2]:
  • Área = 1/2 × b × c × a/(2 × R) = a × b × c/(4 × R) =>
  • R = a × b × c/(4 × Área)
  • R = 111 × 72 × 121/(4 × 3.931,330563562418) ≈ 61,495210359754 ≈ 61,5

Respuesta final. Datos del Triángulo Resuelto. Resumen:

Perímetro
304 unidades
Semiperímetro
152 unidades
Medida del ángulo ∡A
1.1255609302985 ≈ 1.12556 radianes
64.489890890923 ≈ 64.49 grados
64 grados, 29 minutos y 23.61 segundos
Medida del ángulo ∡B
0.62538746112314 ≈ 0.62539 radianes
35.832062082758 ≈ 35.832 grados
35 grados, 49 minutos y 55.42 segundos
Medida del ángulo ∡C
1.3906442621684 ≈ 1.39064 radianes
79.678047026334 ≈ 79.678 grados
79 grados, 40 minutos y 40.97 segundos
Área
3.931,330563562418 ≈ 3.931,33 unidades cuadradas
Longitudes de alturas
ha = 70,834784929053 ≈ 70,83 unidades
hb = 109,203626765623 ≈ 109,2 unidades
hc = 64,980670472106 ≈ 64,98 unidades
Longitudes de medianas
ma = 82,657425558748 ≈ 82,66 unidades
mb = 110,385687478042 ≈ 110,39 unidades
mc = 71,360002802691 ≈ 71,36 unidades
Radio, círculo inscrito
25,864016865542 ≈ 25,86 unidades
Radio, círculo circunscrito
61,495210359754 ≈ 61,5 unidades
  • El triángulo △ABC con longitudes de lados: a = 111, b = 72, c = 121

    El triángulo △ABC con longitudes de lados: BC (a) = 111, AC (b) = 72, AB (c) = 121

Símbolos utilizados: + adición, - resta, × multiplicación, / división, = igual, ≈ aproximadamente, => implicación lógica, ∠ ángulo, ∡ ángulo medido, m(∡A) medida del ángulo, △ triángulo, ⌒ arco de círculo, ⊥ perpendicular, ≅ congruencia, π la relación constante entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, ° unidad del valor medido de un ángulo y se llama grados, ∈ pertenece a, x2 x elevado a la segunda potencia o x al cuadrado = x × x, sin(∠A) seno del ángulo A, cos(∠A) coseno del ángulo A, arccos(ratio) arcocoseno de la relación dada.

Resuelve el triángulo LLL, operaciones similares:

» Resuelve el triángulo si las longitudes de sus tres lados son 268, 19 y 276. Calculadora de triángulos: ángulos, área, (semi)perímetro, alturas, medianas, radios de círculos

» Triángulos resueltos por visitantes dadas las longitudes de sus tres lados, operaciones realizadas mensualmente

» Mes 08, 2026 [Agosto]: Triángulos resueltos dadas las longitudes de sus tres lados, operaciones realizadas durante el mes de: Agosto




¿Cómo resolver un triángulo conociendo las longitudes de sus tres lados?

¿Qué es un triángulo?

  • triángulo △ABC
    Triángulo △ABC
    Dados tres puntos no colineales A, B, C, el conjunto formado por estos tres puntos, junto con el conjunto de todos los puntos de los segmentos AB, BC y CA, se denomina triángulo determinado por los puntos A, B, C. Véase la figura con la representación del triángulo △ABC.
  • Un triángulo es un conjunto de puntos en el plano que forman un polígono que tiene tres vértices, A, B, C, tres lados, AB, BC, CA, y tres ángulos, ∠ABC, ∠BCA, ∠CAB (o si no hay confusión, ∠A, ∠B, ∠C).
  • Un vértice, en nuestro caso A, es el punto donde se unen dos lados: AB y AC. Los tres vértices A, B y C están unidos por tres segmentos de línea, AB, BC y CA, llamados lados, que forman tres ángulos, ∠ABC, ∠BCA y ∠CAB, cuya suma es 180° (lo demostramos a continuación).
  • Los lados del triángulo están definidos por la longitud de los tres segmentos AB, BC y CA.
  • Un triángulo se suele designar por sus vértices, en orden alfabético: △ABC. Pero el mismo triángulo también se puede escribir como: △ACB, △BAC, △BCA, △CAB, △CBA, es decir, utilizando todas las combinaciones formadas por las tres letras.
  • triángulo △ABC y los lados a, b, c
    Triángulo △ABC y los lados a, b, c
    En el triángulo △ABC, el ángulo ∠A se opone al lado BC, y recíprocamente, el lado BC se opone al ángulo ∠A. Para las longitudes de los lados de un triángulo △ABC, se suelen usar las siguientes notaciones: a = BC, b = CA, c = AB.
  • Cuando los tres lados tienen la misma longitud, el triángulo se llama triángulo equilátero, mientras que un triángulo en el que solo dos lados tienen la misma longitud se llama triángulo isósceles. Cuando los lados de un triángulo tienen longitudes diferentes, se denomina triángulo escaleno.

Perímetro y semiperímetro de un triángulo

  • Perímetro: La suma de las longitudes de los lados de un triángulo △ABC se llama perímetro del triángulo y se denota por:
    PABC = AB + BC + CA = c + a + b.
  • Semiperímetro: La mitad de la suma de las longitudes de los lados de un triángulo △ABC se llama semiperímetro del triángulo y se denota por:
    pABC = (AB + BC + CA)/2 = (c + a + b)/2

Posición de un punto con respecto a un triángulo

  • Un punto se denomina punto interior de un triángulo si se encuentra dentro de cada ángulo del triángulo.
  • Un punto que no se encuentra ni dentro del triángulo ni sobre sus lados se denomina punto exterior del triángulo.

Tipos de triángulos en términos de ángulos

  • triángulo rectángulo △ABC
    Triángulo rectángulo △ABC
    Un triángulo que tiene un ángulo de 90°, también llamado ángulo recto, se llama triángulo rectángulo. Si el ángulo recto es A, entonces los lados que forman el ángulo recto, AB y CA, se llaman catetos. El lado opuesto al ángulo recto, BC, se llama hipotenusa. Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto - porque la suma de los tres ángulos de un triángulo debe ser 180° - si hubiera dos ángulos rectos, ya medirían 90° + 90° = 180°, quedando nada para el tercer ángulo.
  • triángulo escaleno agudo △ABC
    Triángulo escaleno agudo △ABC
    Un triángulo que tiene todos los ángulos agudos se llama triángulo agudo o escaleno agudo: ∠A < 90°, ∠B < 90°, ∠C < 90°.
  • triángulo escaleno obtuso △ABC
    Triángulo escaleno obtuso △ABC
    Un triángulo que tiene un ángulo obtuso, es decir mayor a 90°, se llama triángulo obtuso o triángulo obtuso escaleno: en nuestro caso, ∠A > 90°.
  • Triángulo equilátero △ABC
    Triángulo equilátero △ABC
    Un triángulo que tiene todos los ángulos iguales, también llamados congruentes, ∡A = ∡B = ∡C = 180°/3 = 60°, se llama triángulo equilátero. En un triángulo equilátero todos los lados también son congruentes: AB ≅ BC ≅ CA.
  • Triángulo isósceles △ABC
    Triángulo isósceles △ABC
    Un triángulo que tiene sólo dos ángulos congruentes, por ejemplo ∠B ≅ ∠C, se llama triángulo isósceles. En un triángulo isósceles los lados opuestos a los ángulos congruentes también lo son. El tercer lado del triángulo isósceles se llama base del triángulo isósceles.

Reglas específicas para triángulos

  • 1. La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo siempre es igual a 180°. Vea la siguiente figura y la prueba relacionada.
  • prueba: la suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es 180°
    Suma de las medidas de los angulos de un triangulo
    Sea △ABC un triángulo. Construimos el paralelo d que pasa por A hasta BC y los puntos D y E ubicados en la recta d, como en la figura. Los puntos D, A y E, al estar situados en la misma recta, son colineales. Entonces DE ∥ BC ⇒ (1) ∠ABC ≅ ∠DAB - son ángulos internos alternos para DE ∥ BC y secante AB y (2) ∠ACB ≅ ∠CAE - son ángulos internos alternos para DE ∥ BC y secante AC. De (1) y (2) obtenemos la relación para la suma de los ángulos en el triángulo △ABC: ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = ∠DAB + ∠BAC + ∠CAE = ∠DAE = 180°.
  • triangulo imposible: lados
    Triangulo imposible: lados
    2. En un triángulo, la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera debe ser mayor que la longitud del tercer lado, de lo contrario no se podría construir el triángulo. En la siguiente figura puedes ver que la longitud del lado a es mayor que la suma de las longitudes de b y c: a > b + c. En este caso el triángulo △ABC no se puede construir en absoluto.
  • triángulo imposible: ángulos
    Triángulo imposible: ángulos
    3. Un triángulo sólo puede tener un ángulo mayor o igual a 90°. Si un triángulo tuviera dos ángulos de al menos 90°, no quedaría nada para el tercer ángulo, según la regla núm. 1. En nuestro caso, dado que ∡B = 90° y ∠C > 90°, los lados b y c no pueden unirse para formar el vértice A del triángulo △ABC.
  • ángulos externos
    Ángulos externos

    4. El ángulo adyacente y suplementario a un ángulo del triángulo se llama ángulo exterior del triángulo. Cualquier triángulo tiene tres pares de ángulos exteriores, seis ángulos exteriores en total. Cada ángulo del triángulo tiene dos pares de ángulos exteriores, congruentes entre sí, que son opuestos en el vértice: el ángulo ∠A tiene dos ángulos exteriores ∠1 y ∠2 - donde ∠1 ≡ ∠2, el ángulo ∠C tiene dos ángulos exteriores ∠3 y ∠4 - donde ∠3 ≡ ∠4, y el ángulo ∠B tiene dos ángulos exteriores ángulos ∠5 y ∠6, donde ∠5 ≡ ∠6.

    La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos no adyacentes a él, ya que ∠A + ∠B + ∠C = 180° y ∠A + ∠1 = 180°, se deduce que: ∡1 = 180° - ∠A y ∡1 = ∠B + ∠C; asimismo, ∡2 = 180° - ∠A y ∡2 = ∠B + ∠C; ∡3 = 180° - ∠C y ∡3 = ∠A + ∠B; ∡4 = 180° - ∠C y ∡4 = ∠A + ∠B; ∡5 = 180° - ∠B y ∡5 = ∠A + ∠C; y finalmente ∡6 = 180° - ∠B y ∡6 = ∠A + ∠C.

    La suma de las medidas de todos los ángulos exteriores de un triángulo es igual a: ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 2 × ∠1 + 2 × ∠3 + 2 × ∠5 = 2 × (∠1 + ∠3 + ∠5) = 2 × (180° - ∠A + 180° - ∠B + 180° - ∠C) = 2 × (3 × 180° - (∠A + ∠B + ∠C)) = 2 × (3 × 180° - 180°) = 2 × (2 × 180°) = 2 × 360° = 720°.

  • el lado mayor se opone al ángulo mayor
    Lado mayor opuesto por un ángulo mayor
    5. Cualquiera que sea un triángulo con dos lados no congruentes, el lado mayor está opuesto al ángulo mayor. Si a > b y a > c, entonces ∠A > ∠B y ∠A > ∠C.

¿Cómo se resuelve el triángulo si sabes las longitudes de sus tres lados?

  • Conociendo las longitudes a, byc de los tres lados de un triángulo △ABC, donde a es el lado opuesto al ángulo ∠A, b es el lado opuesto al ángulo ∠B y c es el lado opuesto al ángulo ∠C, cada ángulo se puede calcular usando las siguientes fórmulas.

La forma reorganizada de la ley de los cosenos (o regla del coseno)

  • Esta fórmula se utiliza para calcular la medida de un ángulo en cualquier triángulo cuando se conocen las longitudes de los tres lados:
  • ∡A = arccos((b2 + c2 - a2) / (2 × b × c))
  • ∡B = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
  • ∡C = arccos((a2 + b2 - c2) / (2 × a × b))
  • Ejemplo: Conociendo los lados de un triángulo, a = 7, b = 5 and c = 9, calcula los ángulos ∡A, ∡B y ∡C del triángulo:
  • ∡A =
    arccos((52 + 92 - 72) / (2 × 5 × 9)) =
    arccos((25 + (9 + 7) × (9 - 7))) / 90) =
    arccos((25 + 16 × 2)) / 90) =
    arccos((25 + 32)) / 90) =
    arccos(57/90) =
    arccos(0.6333) =
    0.88498643446628 radianes =
    50.705987621249 grados
  • ∡B =
    arccos((72 + 92 - 52) / (2 × 7 × 9)) =
    arccos((49 + (9 + 5) × (9 - 5))) / 126) =
    arccos((49 + 14 × 4)) / 126) =
    arccos((49 + 56)) / 126) =
    arccos(105/126) =
    arccos(0.8333) =
    0.58574584298534 radianes =
    33.560764670393 grados
  • ∡C =
    arccos((72 + 52 - 92) / (2 × 7 × 5)) =
    arccos((49 + (5 + 9) × (5 - 9))) / 70) =
    arccos((49 + 14 × -4)) / 70) =
    arccos((49 + -56)) / 70) =
    arccos(-7/70) =
    arccos(-0.1) =
    1.6709637479565 radianes =
    95.739170477267 grados
  • Comprueba que la suma de los ángulos ∡A + ∡B + ∡C = 180°.
  • ∡A = 50.705987621249°
    ∡B = 33.560764670393°
    ∡C = 95.739170477267°
    ∡A + ∡B + ∡C =
    50.705987621249 + 33.560764670393 + 95.739170477267 =
    180.00592276891° ≈ 180°