¿Cómo resolver un triángulo si se conocen las longitudes de sus tres lados? Calculadora de triángulos: ángulos, área, (semi)perímetro, alturas, medianas, radios de círculos

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Los últimos 10 triángulos que se resolvieron dadas las longitudes de sus tres lados

Resuelve el triángulo si las longitudes de sus tres lados son: a = 14, b = 10, c = 19 17 Ago, 00:09 UTC (GMT)
Resuelve el triángulo si las longitudes de sus tres lados son: a = 45, b = 29, c = 37 15 Ago, 20:08 UTC (GMT)
Resuelve el triángulo si las longitudes de sus tres lados son: a = 24, b = 36, c = 21 15 Ago, 13:34 UTC (GMT)
Resuelve el triángulo si las longitudes de sus tres lados son: a = 6, b = 8, c = 10 13 Ago, 01:55 UTC (GMT)
Resuelve el triángulo si las longitudes de sus tres lados son: a = 21, b = 16, c = 13 12 Ago, 17:12 UTC (GMT)
Resuelve el triángulo si las longitudes de sus tres lados son: a = 23, b = 30, c = 26 11 Ago, 03:11 UTC (GMT)
Resuelve el triángulo si las longitudes de sus tres lados son: a = 365, b = 273, c = 151 09 Ago, 01:14 UTC (GMT)
Resuelve el triángulo si las longitudes de sus tres lados son: a = 41, b = 58, c = 30 09 Ago, 00:54 UTC (GMT)
Resuelve el triángulo si las longitudes de sus tres lados son: a = 66, b = 24, c = 66 09 Ago, 00:54 UTC (GMT)
Resuelve el triángulo si las longitudes de sus tres lados son: a = 68, b = 68, c = 64 09 Ago, 00:53 UTC (GMT)
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¿Cómo resolver un triángulo conociendo las longitudes de sus tres lados?

¿Qué es un triángulo?

  • triángulo △ABC
    Triángulo △ABC
    Dados tres puntos no colineales A, B, C, el conjunto formado por estos tres puntos, junto con el conjunto de todos los puntos de los segmentos AB, BC y CA, se denomina triángulo determinado por los puntos A, B, C. Véase la figura con la representación del triángulo △ABC.
  • Un triángulo es un conjunto de puntos en el plano que forman un polígono que tiene tres vértices, A, B, C, tres lados, AB, BC, CA, y tres ángulos, ∠ABC, ∠BCA, ∠CAB (o si no hay confusión, ∠A, ∠B, ∠C).
  • Un vértice, en nuestro caso A, es el punto donde se unen dos lados: AB y AC. Los tres vértices A, B y C están unidos por tres segmentos de línea, AB, BC y CA, llamados lados, que forman tres ángulos, ∠ABC, ∠BCA y ∠CAB, cuya suma es 180° (lo demostramos a continuación).
  • Los lados del triángulo están definidos por la longitud de los tres segmentos AB, BC y CA.
  • Un triángulo se suele designar por sus vértices, en orden alfabético: △ABC. Pero el mismo triángulo también se puede escribir como: △ACB, △BAC, △BCA, △CAB, △CBA, es decir, utilizando todas las combinaciones formadas por las tres letras.
  • triángulo △ABC y los lados a, b, c
    Triángulo △ABC y los lados a, b, c
    En el triángulo △ABC, el ángulo ∠A se opone al lado BC, y recíprocamente, el lado BC se opone al ángulo ∠A. Para las longitudes de los lados de un triángulo △ABC, se suelen usar las siguientes notaciones: a = BC, b = CA, c = AB.
  • Cuando los tres lados tienen la misma longitud, el triángulo se llama triángulo equilátero, mientras que un triángulo en el que solo dos lados tienen la misma longitud se llama triángulo isósceles. Cuando los lados de un triángulo tienen longitudes diferentes, se denomina triángulo escaleno.

Perímetro y semiperímetro de un triángulo

  • Perímetro: La suma de las longitudes de los lados de un triángulo △ABC se llama perímetro del triángulo y se denota por:
    PABC = AB + BC + CA = c + a + b.
  • Semiperímetro: La mitad de la suma de las longitudes de los lados de un triángulo △ABC se llama semiperímetro del triángulo y se denota por:
    pABC = (AB + BC + CA)/2 = (c + a + b)/2

Posición de un punto con respecto a un triángulo

  • Un punto se denomina punto interior de un triángulo si se encuentra dentro de cada ángulo del triángulo.
  • Un punto que no se encuentra ni dentro del triángulo ni sobre sus lados se denomina punto exterior del triángulo.

Tipos de triángulos en términos de ángulos

  • triángulo rectángulo △ABC
    Triángulo rectángulo △ABC
    Un triángulo que tiene un ángulo de 90°, también llamado ángulo recto, se llama triángulo rectángulo. Si el ángulo recto es A, entonces los lados que forman el ángulo recto, AB y CA, se llaman catetos. El lado opuesto al ángulo recto, BC, se llama hipotenusa. Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto - porque la suma de los tres ángulos de un triángulo debe ser 180° - si hubiera dos ángulos rectos, ya medirían 90° + 90° = 180°, quedando nada para el tercer ángulo.
  • triángulo escaleno agudo △ABC
    Triángulo escaleno agudo △ABC
    Un triángulo que tiene todos los ángulos agudos se llama triángulo agudo o escaleno agudo: ∠A < 90°, ∠B < 90°, ∠C < 90°.
  • triángulo escaleno obtuso △ABC
    Triángulo escaleno obtuso △ABC
    Un triángulo que tiene un ángulo obtuso, es decir mayor a 90°, se llama triángulo obtuso o triángulo obtuso escaleno: en nuestro caso, ∠A > 90°.
  • Triángulo equilátero △ABC
    Triángulo equilátero △ABC
    Un triángulo que tiene todos los ángulos iguales, también llamados congruentes, ∡A = ∡B = ∡C = 180°/3 = 60°, se llama triángulo equilátero. En un triángulo equilátero todos los lados también son congruentes: AB ≅ BC ≅ CA.
  • Triángulo isósceles △ABC
    Triángulo isósceles △ABC
    Un triángulo que tiene sólo dos ángulos congruentes, por ejemplo ∠B ≅ ∠C, se llama triángulo isósceles. En un triángulo isósceles los lados opuestos a los ángulos congruentes también lo son. El tercer lado del triángulo isósceles se llama base del triángulo isósceles.

Reglas específicas para triángulos

  • 1. La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo siempre es igual a 180°. Vea la siguiente figura y la prueba relacionada.
  • prueba: la suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es 180°
    Suma de las medidas de los angulos de un triangulo
    Sea △ABC un triángulo. Construimos el paralelo d que pasa por A hasta BC y los puntos D y E ubicados en la recta d, como en la figura. Los puntos D, A y E, al estar situados en la misma recta, son colineales. Entonces DE ∥ BC ⇒ (1) ∠ABC ≅ ∠DAB - son ángulos internos alternos para DE ∥ BC y secante AB y (2) ∠ACB ≅ ∠CAE - son ángulos internos alternos para DE ∥ BC y secante AC. De (1) y (2) obtenemos la relación para la suma de los ángulos en el triángulo △ABC: ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = ∠DAB + ∠BAC + ∠CAE = ∠DAE = 180°.
  • triangulo imposible: lados
    Triangulo imposible: lados
    2. En un triángulo, la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera debe ser mayor que la longitud del tercer lado, de lo contrario no se podría construir el triángulo. En la siguiente figura puedes ver que la longitud del lado a es mayor que la suma de las longitudes de b y c: a > b + c. En este caso el triángulo △ABC no se puede construir en absoluto.
  • triángulo imposible: ángulos
    Triángulo imposible: ángulos
    3. Un triángulo sólo puede tener un ángulo mayor o igual a 90°. Si un triángulo tuviera dos ángulos de al menos 90°, no quedaría nada para el tercer ángulo, según la regla núm. 1. En nuestro caso, dado que ∡B = 90° y ∠C > 90°, los lados b y c no pueden unirse para formar el vértice A del triángulo △ABC.
  • ángulos externos
    Ángulos externos

    4. El ángulo adyacente y suplementario a un ángulo del triángulo se llama ángulo exterior del triángulo. Cualquier triángulo tiene tres pares de ángulos exteriores, seis ángulos exteriores en total. Cada ángulo del triángulo tiene dos pares de ángulos exteriores, congruentes entre sí, que son opuestos en el vértice: el ángulo ∠A tiene dos ángulos exteriores ∠1 y ∠2 - donde ∠1 ≡ ∠2, el ángulo ∠C tiene dos ángulos exteriores ∠3 y ∠4 - donde ∠3 ≡ ∠4, y el ángulo ∠B tiene dos ángulos exteriores ángulos ∠5 y ∠6, donde ∠5 ≡ ∠6.

    La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos no adyacentes a él, ya que ∠A + ∠B + ∠C = 180° y ∠A + ∠1 = 180°, se deduce que: ∡1 = 180° - ∠A y ∡1 = ∠B + ∠C; asimismo, ∡2 = 180° - ∠A y ∡2 = ∠B + ∠C; ∡3 = 180° - ∠C y ∡3 = ∠A + ∠B; ∡4 = 180° - ∠C y ∡4 = ∠A + ∠B; ∡5 = 180° - ∠B y ∡5 = ∠A + ∠C; y finalmente ∡6 = 180° - ∠B y ∡6 = ∠A + ∠C.

    La suma de las medidas de todos los ángulos exteriores de un triángulo es igual a: ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 2 × ∠1 + 2 × ∠3 + 2 × ∠5 = 2 × (∠1 + ∠3 + ∠5) = 2 × (180° - ∠A + 180° - ∠B + 180° - ∠C) = 2 × (3 × 180° - (∠A + ∠B + ∠C)) = 2 × (3 × 180° - 180°) = 2 × (2 × 180°) = 2 × 360° = 720°.

  • el lado mayor se opone al ángulo mayor
    Lado mayor opuesto por un ángulo mayor
    5. Cualquiera que sea un triángulo con dos lados no congruentes, el lado mayor está opuesto al ángulo mayor. Si a > b y a > c, entonces ∠A > ∠B y ∠A > ∠C.

¿Cómo se resuelve el triángulo si sabes las longitudes de sus tres lados?

  • Conociendo las longitudes a, byc de los tres lados de un triángulo △ABC, donde a es el lado opuesto al ángulo ∠A, b es el lado opuesto al ángulo ∠B y c es el lado opuesto al ángulo ∠C, cada ángulo se puede calcular usando las siguientes fórmulas.

La forma reorganizada de la ley de los cosenos (o regla del coseno)

  • Esta fórmula se utiliza para calcular la medida de un ángulo en cualquier triángulo cuando se conocen las longitudes de los tres lados:
  • ∡A = arccos((b2 + c2 - a2) / (2 × b × c))
  • ∡B = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
  • ∡C = arccos((a2 + b2 - c2) / (2 × a × b))
  • Ejemplo: Conociendo los lados de un triángulo, a = 7, b = 5 and c = 9, calcula los ángulos ∡A, ∡B y ∡C del triángulo:
  • ∡A =
    arccos((52 + 92 - 72) / (2 × 5 × 9)) =
    arccos((25 + (9 + 7) × (9 - 7))) / 90) =
    arccos((25 + 16 × 2)) / 90) =
    arccos((25 + 32)) / 90) =
    arccos(57/90) =
    arccos(0.6333) =
    0.88498643446628 radianes =
    50.705987621249 grados
  • ∡B =
    arccos((72 + 92 - 52) / (2 × 7 × 9)) =
    arccos((49 + (9 + 5) × (9 - 5))) / 126) =
    arccos((49 + 14 × 4)) / 126) =
    arccos((49 + 56)) / 126) =
    arccos(105/126) =
    arccos(0.8333) =
    0.58574584298534 radianes =
    33.560764670393 grados
  • ∡C =
    arccos((72 + 52 - 92) / (2 × 7 × 5)) =
    arccos((49 + (5 + 9) × (5 - 9))) / 70) =
    arccos((49 + 14 × -4)) / 70) =
    arccos((49 + -56)) / 70) =
    arccos(-7/70) =
    arccos(-0.1) =
    1.6709637479565 radianes =
    95.739170477267 grados
  • Comprueba que la suma de los ángulos ∡A + ∡B + ∡C = 180°.
  • ∡A = 50.705987621249°
    ∡B = 33.560764670393°
    ∡C = 95.739170477267°
    ∡A + ∡B + ∡C =
    50.705987621249 + 33.560764670393 + 95.739170477267 =
    180.00592276891° ≈ 180°